Equivalencia entre las presentaciones











Sistema rectangular



Se explica respecto de tres ejes perpendiculares entre sí (X,Y,Z) que se cortan formando un triedro y sobre los que están definidos tres vectores unitarios principales , que se toman de modo que el triedro resulte a derechas, lo que se deduce de la regla . La posición de un punto P , viene determinada por tres coordenadas (x, y, z), es decir mediante tres distancias al punto O.



El vector de posición de un punto P viene determinado por

Sistema de coordenadas cilíndricas
La posición de un punto respecto del sistema de ejes viene determinada por dos distancias y un ángulo (r, q, z) y los vectores unitarios son: , , ,








El vector unitario , se aplica en el punto P y es paralelo al eje Z.
El vector unitario se aplica en P y es paralelo al vector dibujado en el plano (X,Y), estando determinado por la proyección de P sobre el citado plano.
El vector unitario se aplica en P y es perpendicular a los otros dos verificando
El vector de posición de un punto P viene determinado por no quedando unívocamente determinado.


Relación de los sistemas de coordenadas cilíndricas y rectangulares
Se buscarán relaciones de y con los unitarios pues el unitario coincide. Trasladando y al plano (X, Y) fig.3, reulta:








Los vectores y son unitarios:







Aplicación:


Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4, 3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas cilíndricas.



;






Expresar un vector en coordenadas cilíndricas, si su punto de aplicación está en P(4, 3, 2)



De la fig.3 se deduce fácilmente que ;


El vector de posición del punto de aplicación del vector que está en P que ya se calculó en la aplicación anterior:
Para expresar el vector en coordenadas cilíndricas, hemos de calcular sus componentes en las direcciones de los vectores unitarios, ; ; ; para lo cual vamos a calcular los productos escalares del vector por cada uno de estos unitarios, porque el producto escalar de un vector por otro unitario, proporciona la proyección del vector sobre la dirección del unitario.

 Compruebe que el módulo del vector es el mismo con independencia del sistema de coordenadas en el que se exprese,


Sistema de coordenadas esféricas
La posición de un punto P respecto del sistema de ejes, viene determinada por una distancia y dos ángulos (r, q, j)) y los vectores unitarios son: ; ; ,








El vector unitario está en la dirección
El vector unitario es perpendicular a y su sentido es aquel en el que j crece.
El vector unitario es perpendicular a los dos anteriores verificando
Un punto cualquiera como P, tiene un vector de posición que se encuentra en la dirección OP. En coordenadas esféricas se expresa:


Indica únicamente que P está a una distancia r del origen, pero no determina unívocamente su posición.


Relación de los sistemas de coordenadas esféricas y rectangulares
Se buscarán relaciones entre los vectores unitarios: , , y los
Trasladamos los vectores unitarios al origen para mayor facilidad.


El vector debe proyectarse previamente sobre el plano (X, Y), dirección OM, antes de hacerlo sobre los ejes X e Y, esta proyección vale . Para proyectar observamos que forma con el Z un ángulo pero también debe ser proyectado antes sobre el plano (X, Y) y después sobre los ejes. Para proyectar observemos que forma con el eje X, un ángulo .


Aplicación


Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4, 3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas

 esféricas.

 ;
Vamos ahora a obtener los vectores unitarios , , en función de . Es necesario observar en la fig.4, el vector designado por .


Expresar un vector en coordenadas esféricas, si su punto de aplicación está en P(4, 3, 2).

Calcularemos las componentes del vector en las direcciones de los vectores unitarios , , multiplicando escalarmente el vector , por cada uno de estos unitarios